有限要素法のフリーのソフトウエア を試す

CAEで使われるフリーの有限要素法(FEM)ソフトウエアであるCalculixやOpenfoamを使ってみようとチャレンジしてたその足跡を残す。。。ついでに他のフリーソフトや商用ソフトの無償版にも手を出してみる。

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周期的な振動について考えてみる

前回紹介したとおり、シミュレーションで一般的な強制振動を行うことはできるのですが、その結果から振動特性を読み取るのは少し大変です。

もし、ランダムな振動ではなく、周期的な振動であれば少し整理しやすいです。

周期的な振動は以下のようなパルス波の繰り返しや、方形波の繰り返しも含まれまれるのですが、なんと言っても取り扱い易いのは正弦波(sin波)です。

三角パルス波
ds392


正と負の方形波の組み合わせ波
ds393


正弦波
ds394


正弦波はなんといっても数式1本で表現できるので、理論的に扱いやすいです。

理論的に扱いやすいものはシミュレーション的にも扱いやすいです(^^)
(微分して積分しても波形が変わらないので数学的に楽です)

また、後で少し詳しく書きますが、振動分野では入力(荷重など)が正弦波の場合を基にして、時間に対してランダムな入力荷重の場合も分析するのが基本です...

現実の振動も、エンジンのピストンの上下運動や回転機器の振動などは、正弦波に近い波形を描くことも多いです。

ということで(少し強引ですが(^^;))、まず正弦波が荷重として入力する場合について考察してみたいと思います。


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  1. 2012/04/01(日) 21:57:09|
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CalculiXの正弦波形の時間依存荷重データの作成


ではCalculiXに時間に対して荷重が正弦波の波形になる入力を作成してみます。

といっても、「荷重を正弦波で入れてください」というようなコマンドはないので、時間と荷重の表を作成して、それの表を

*CLOAD,AMPLITUDE=

に放り込むことにします。。。

では、荷重が正弦波の波形で1000Hzの振動数で振動する場合を考えてみます。

1000Hzの正弦波をグラフに描くと

ds395


周期は振動数の逆数なので、

1/1000=0.001[sec]

となります。

前にも書いたとおり、「時間と荷重は正弦波で入力します」というコマンドはないので、この時間を分割して、時間と荷重の関係を表にします。
(分割された間は直線近似ということになります)

1周期20分割すれば、見た目正弦波ぽくなるでしょう。。。

ds396



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  1. 2012/04/02(月) 23:08:10|
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ExcelでCalculiX正弦波動荷重のデータを作ってみる


前回、正弦波のグラフの1周期を20分割しました。

ds396


あとはこのグラフのデータを表にします。

もちろん手計算で表作ってもかまいませんが、今の時代Excelとか表計算ソフトがあるので、それを使いましょう。

前回示したような振動数がf[hz]の正弦波形を数式で表すと、時間をtとして

de397

であらわせます。(何でそうなるかは。。。書くと長くなるので調べてください(^^;)

振動数は1000Hzとしたので、Excelに入力すると、以下のようになります。
(A列には時間、B列にそのときの正弦波の荷重を入力しています)

de398

時間(ステップ)は1周期を20分割するので、0.001/20=0.00005おきになります。

ds399

あとはB列を1セルドラッグして

ds400

次にA列B列まとめてドラッグすればExcel上に表が出来上がりです。

ds401

これをcsvファイルに保存します。

ds402



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  1. 2012/04/03(火) 23:08:17|
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ccxの正弦波荷重入力データの作成


このファイルを荷重の入力データにして、CalculiXの入力ファイルにします。

これをいつもの片もちはりのモデルに適用してみます。

ds403

まずは固有値は20個、減衰はなしとします。

ds404

*Amplitude, name=Amp-1

の行の直後に

*INCLUDE,INPUT=t-t.csv

を入れることによって、t-t.csvに書き込んだ時間-荷重の関係をCalculiXに読ませています。

また、計算ステップも荷重に合わせて1周期あたり20ステップにします。

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  1. 2012/04/08(日) 21:53:52|
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減衰がない正弦波荷重の片もち梁振動の計算結果


では早速計算して結果を見てみましょう。自由端の変位です。

ds405

振動してはいるようですが、なんかグラフががたがたでしっくりきませんね。。。

でも間違いではありません。。。

次回、減衰を入れた場合について計算してみます。

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  1. 2012/04/09(月) 23:29:04|
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減衰を入れてみた

前回コメントアウトしていた減衰の入力を有効にして解析してみます。

入力データは以下のとおりです。

ds406.png

結果は、

ds407.png

減衰なしとずいぶん違う結果の波形が得られました。。。

最初は波形が荒れていますが、だんだん落ち着き0.04秒後には安定した振幅と周期を持つ振動になっています。


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  1. 2012/04/10(火) 22:04:32|
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減衰がある場合とない場合の比較


前回まで計算してきた片もちはりの強制振動の減衰なしと減衰ありの結果を同じグラフに載せて、比較してみましょう。

ds408

比較してみると、まず振幅(変位)は

減衰なしのもの:荷重をかけた直後からほぼ一定(0.25~0.4)(周期によってがたがたしていますが)の振幅になっている

減衰ありのもの:荷重をかけた直後から徐々に小さくなっていき、0.03秒後からはほとんど変わらない。

減衰ありの場合の振幅の減少は当然減衰力が原因だというのは容易に想像つきますが、荷重がかかり続けているので、その後一定の振幅のところで収束しているようです。

次に1周期(の時間)を比較して見ると、

減衰なしのもの
荷重かけた直後からあまり大きな変動はない

減衰ありのもの
荷重かけた直後は減衰なしとほぼ同じ周期だが、0.01秒過ぎたあたりから周期が小さくなり始め、その後その小さい周期で一定となっています。


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  1. 2012/04/15(日) 23:16:52|
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正弦波荷重過渡応答解析の減衰なしの場合の周期

実際に減衰なしの場合の周期を測ってみましょう。

ds409

最後から6つのピークの周期を見てみると、

ds410

周期の平均が0.00238[sec]、その逆数の振動数は420.2Hzとなります。。。

420Hzといえば、このはりモデルの1次の固有振動数は

ds411

420.3Hzとなっています。。。

これは偶然でしょうか。。。

いえ、違います。偶然ではありません。

片もちはりの以外の他のモデルで行っても、同じような現象が起きます。
(後で他のモデルもやってみようと思います)

つまり、減衰がない場合の強制振動は多少波形は乱れるものの、自由振動のときと同様固有振動数に近い振動数で振動する場合が多いのです。

見方を変えると、固有振動で振動しようとする力(のようなもの)は、それだけかなり大きい、ということになります。。。


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  1. 2012/04/16(月) 23:19:00|
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減衰がある場合の正弦波荷重の過渡応答の振動数

前回は減衰のない場合の周期、振動数についてみてみました。

一方、減衰のある場合の周期はどうなのでしょうか。

減衰なしのときと同様に計ってみると

ds412

ds413


荷重の振動数である1000Hzで一定になっています。

つまり、振動し始めのころは振動が荒れているが、やがて荷重の振動数と同じ振動数で振動する、ということがわかります。

このように、減衰の有り無しでずいぶん振動の状態が変わり、減衰があるほうが安定した振動になるのです。


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  1. 2012/04/17(火) 23:24:18|
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減衰有り無しの場合をもう少し詳しく比較してみる

ところで、もう一度減衰有り無しの場合のグラフを見てみましょう。

ds408

よく見てみると

ds414

1周期目 減衰ありと減衰なしがほぼ一致してます
2周期目 後半少しずれてきますが、まだほぼ一致しています
3週期目 減衰ありの振幅がだいぶ小さくなってきています。。。

つまり、振動の初期段階では減衰ありもなしもほぼ同じ振動をしているが、

時間がたってくると差が出てくるということが観察されています。


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  1. 2012/04/18(水) 23:41:51|
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大きい振動と小さい振動 その1

もうひとつ、グラフを見ると、減衰ありも減衰なしも大きな振動と小さな振動があるということです。

下が大きい振動です。つまり以前説明した自由振動に近い周期を持つ振動です。

ds415

この大きい振動、減衰ありの場合は振幅が小さくなっていくのがわかります。


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  1. 2012/04/19(木) 23:42:35|
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大きい振動と小さい振動 その2


もうひとつは、小さい振動です。

ds416

減衰ありに着目してもう少しロングスパンで見てみると、

ds408


やがて減衰ありの周期に一致します。

減衰ありの周期は荷重の周期と一致してましたね。

また、小さい振動は、時間がたっても、減衰ありの場合もなしの場合も減衰せずに(少なくても0.05秒後までは)存在しています。


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  1. 2012/04/22(日) 22:57:48|
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大きい振動と小さい振動 まとめ


前回までの話をまとめると、

1.振動し始めは減衰ありの時も減衰なしの時も差がない

2.減衰ありもなしも大きな振動(自由振動に近い振動数)と小さな振動(荷重と同じ振動数)

3.減衰ありの場合は大きな振動(自由振動に近い振動が減衰していく)が減衰してやがてなくなり、小さな振動のみとなる

ということです。


つまり、正弦波の過渡応答は

大きな振動(自由振動=固有振動数による振動)



小さな振動(荷重と同じ振動数の振動)

を足したもの(和)である、ということが観察できるのではないでしょうか。

また、減衰を考慮すると、

大きな振動は減衰して

小さい振動のみ(荷重と同じ振動数の振動のみ)

になります。


ほとんどの振動現象は、大なり小なり減衰しますので、

やがては荷重と同じ振動数で振動することになることが予想されます。(実際そうです)


よって、減衰のある場合で、なおかつしばらく時間がたった後の状態(大きい振動がなくなったとの状態)の振動が取り扱いやすそうです。

これらのことは実は重要で、これがわかっていると振動現象、特に周波数応答が理解しやすくなります(^^)


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  1. 2012/04/23(月) 22:57:53|
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振動の一般解と特解のこと


ちょっとだけ理論の話をします

よく機械力学の教科書などで

強制振動の解は

一般解



特解

の和であらわせる、

というようなことが書いてあります。

実は、ここで言っている一般解が前回まで説明してきた

大きな振動(自由振動=固有振動数による振動)

で特解が

小さな振動(荷重と同じ振動数の振動)

のことを示しています。


数式ではわかりにくいですが、シミュレーションしてみると少しは理解しやすくなりますね。。。(たぶん)


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  1. 2012/04/24(火) 23:06:48|
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モーダル過渡応答で1000Hzの荷重で必要なモード数を求めてみる

前回まで、荷重を正弦波で与え続けた場合の結果についてみてきました。

しかし、元の話は、「モーダル過渡応答解析では固有値解析は何次まで必要なのか」ということでした。。。

で、話を戻したいのですが、ここからは荷重が時間に対して正弦波形でかかる場合を見てみ行きたいと思います。


確認のためもう一度解析モデルを説明します。

前回までと同様のモデルと同様に、以下のような荷重を梁先端の2点に与えるモデルを作成します。

1000Hz(周期が1/100=0.001)の正弦波です

ds417


減衰は説明してきたとおり入れたほうが安定するので、前回同様の減衰率を入れます。

ds387


図はABAQUS/CAEの図ですが、境界条件は同じで計算はCalculiXで行っています。


モーダル過渡応答で計算していきますが、固有値解析の求める固有値の設定を変えてみます。


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  1. 2012/04/25(水) 23:13:07|
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計算するモードを20個とした場合の結果

以前も示しましたが計算するモードを20個とした場合の入力データと先端の変位の結果は、

ds406.png

ds407.png

でしたね。

求めるモードの数を変えて、この結果と比較してみましょう。


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  1. 2012/04/26(木) 23:14:34|
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モード2個の場合の結果

ではモードを2個にして見ます。

入力データは、

ds418


赤丸したところを変えてモードを2個にしています。

先端の変位の結果は、

ds419


固有値が20個の場合と見た目あまり変わらない感じがしますが、後で比較して見ます。


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  1. 2012/04/30(月) 21:41:15|
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