有限要素法のフリーのソフトウエア を試す

CAEで使われるフリーの有限要素法(FEM)ソフトウエアであるCalculixやOpenfoamを使ってみようとチャレンジしてたその足跡を残す。。。ついでに他のフリーソフトや商用ソフトの無償版にも手を出してみる。

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固有値解析のいったんまとめ(静解析屋さんのための動解析FEM講座96)


ここで1回、固有値解析についてまとめます。

固有値解析はまず何のためにするかなのですが、


1.固有振動数を求める。

固有振動数が分かれば共振(変形や応力が大きくなる)する荷重の振動数、周期(時間-荷重の関係)がわかります。

それが分かれば共振対策を行うデータになります。

2.固有モード形状を調べる

振動しやすい変形形状を求めることが出来る。

固有モード形状がわかったところで、それが何に役に立つのかという話はしてませんが、

実は色々役に立ちます。
(詳細は後日。。。)


さて、固有値解析の話の最後に

振動解析は固有値解析で十分か。。。

ということを考えてみたいと思います。

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  1. 2011/05/01(日) 22:19:53|
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固有値解析で振動特性は分かるのか(静解析屋さんのための動解析FEM講座97)


固有値解析では

固有周波数と固有モード形状を

求めることが出来ると書きました。


では、逆に求められない動特性は何でしょうか。。。

まず最初に、固有値解析は荷重条件が入っていません。

よって、荷重によって、どのような応答をするかと言うのは求められません。


例えば、紹介した片もちはりの例で、1次の曲げモードの共振周波数

2099Hz

で加振した場合、必ず共振するかどうかです。。。

曲げ変形をする方向に荷重をかければ共振します。

では、引張り圧縮方向に荷重を書けた場合はどうなのでしょう。。。


もう一つ、減衰の影響も入れられません。

詳しくは後で述べますが、共振点近傍の振幅は減衰の影響が大きいのです。


これら2つは、最初に述べた

過渡応答解析

を行うと考慮できますが、

時間-変位のデータ作成が面倒だったり、

解析時間がかかったりします。


そこで、周波数応答解析(定常動的解析)

の登場、という話になります。

が、CalculiXで周波数応答の話をするにはいささか準備が必要なので、もうしばらくお待ち下さい。。。

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  1. 2011/05/02(月) 22:16:19|
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固有モード形状の分類(静解析屋さんのための動解析FEM講座98)

固有値解析の初歩的な話は終わりにして、今回からは四方山話的なトピックスを書きたいと思ってます。

片もちはりのシミュレーションを例に固有値解析を行ってきましたが、

固有モード形状は

1.曲げ

2.ねじり

3.引張り圧縮

の3つの形状の種類が出てきました。

ds155
クリックすると大きくなります


はりのような形状の場合、これらのモード形状は非常に区別がつきやすいです。


ところで、自動車や航空機など一般の構造物も、モード形状はこれら3種類に区別することが出来ます。

もし自分がシミュレーションを行っている構造物の振動モード試験を行っているのであれば、

モード形状結果を確認してみると良いでしょう。

(曲げ+ねじり 等の複合モードもあります)


ところで、「剛体モード」と呼ばれる特別なモード形状があります。

次回詳しく述べます。


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  1. 2011/05/03(火) 22:22:25|
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剛体モードとは(静解析屋さんのための動解析FEM講座99)


さて、剛体モードとは何でしょう。


固有値解析結果に剛体モードが現れたときのの特徴は

1.固有周波数が0

2.振動モード形状が剛体移動

になっていることがあげられます。


固有振動数については、きっちり0になる場合もありますが

それは稀で、実際に計算するとは0に近い非常に小さい値(10e-6など)となります。

理論上は0なのですが、計算するときの桁落ちなど数値的な誤差によって、値が計算されます。
(それはあくまでも誤差であって理論的には0です)

またモデルによっては、振動数が多少大きい値(1.0以上の値)も剛体モードの固有振動数として出てくる場合も考えられます。

このような場合剛体モードか通常の振動モードかを区別するのは、結構難しかったりします。
(モデルやモード変形図などを良く見てチェックするしかないと思います)


振動モードが剛体移動というのは、つまり変形せずに平行移動しただけのモード形状図になると言うことです。

Solidworksさんのオンラインヘルプにきれいな剛体モードのアニメーションがあり、それが分かりやすいです。

http://help.solidworks.com/2010/japanese/SolidWorks/cworks/LegacyHelp/Simulation/AnalysisBackground/FrequencyAnalysis/Rigid_Body_Modes.htm
(サンプルモードを表示させてください)

変形していないので、応力表示にすると、応力はほとんど0になります。(これも数値誤差により小さい値が計算されていますが0です)

では、どのようなときに剛体モードは現れるのでしょうか。。。

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  1. 2011/05/04(水) 19:40:04|
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剛体モードが出てくる場合とは(静解析屋さんのための動解析FEM講座100)


有限要素法の静解析を行う場合、拘束条件を剛体運動がおきないように拘束する必要があります。

詳しくはこのブログの

http://freecaetester.blog62.fc2.com/blog-category-15.html

に書いてあります。

拘束が不足して、剛体運動がおきるモデルで計算すると、エラーが起きて結果が求まらないことがあります。


さて、固有値解析の場合、この拘束不足の状態で計算するとどうなるのでしょうか。。。

そう、このときに剛体モードが現れるのです!

よく考えれば、剛体モードは剛体移動するモードなので、拘束がないとき出てくるのは当たり前なのですが。。。



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  1. 2011/05/05(木) 18:20:30|
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剛体モードが出てくる場合のCalculiX入力データ (静解析屋さんのための動解析FEM講座101)


それでは、CalculiXで剛体モードをだしてみましょう。

前回使った例題を使います。

*INCLUDE,INPUT=all.msh
*MATERIAL,NAME=EL
*ELASTIC
210000.0 , .3
*DENSITY
7.8E-9
*SOLID SECTION,MATERIAL=EL,ELSET=EALL
*STEP
*FREQUENCY
10
*NODE FILE,NSET=NALL
U
*END STEP


fix.namの読み込みと,
*boundaryを消しただけです。。。

計算して、結果を見てみましょう。

.datファイルを見てみると、


ds155

1番目のモードが固有振動数0となっています。

これが剛体モードです。


ところで、2番目から6番目のモードも、7番目のモードの値に比べて非常に小さい値になっています。

実はこれらも剛体モードです。

なぜ、剛体モードと言い切れるかというと、

3次元ソリッド要素のみで作成したモデルで、拘束条件がまったくない場合は

必ず6つの剛体モードを持つからです。

6つの剛体モードは先日紹介した

http://freecaetester.blog62.fc2.com/blog-date-20110504.html


6方向の剛体移動に相当します。


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  1. 2011/05/08(日) 20:20:58|
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剛体モードのモード形状を見てみる (静解析屋さんのための動解析FEM講座102)

それでは、剛体モードのモード形状を見てみます。

剛体モードは変形しないはずなので、元の形が保たれるはずです。

まず1次モード

ds156

せん断変形しています。。。

次に2次モード

ds157

ちょっと縮んでしまっています。。。

次に3次モード

ds158

これもせん断変形しています。。。


このように、剛体モードの解析結果は変形してしまいます。

これは数値誤差によるものなのですが、「0」に近い固有値をもとに計算してしまっているので、

丸め誤差などの数値誤差が大きくなってしまいます。。。


ただし、曲げの1次モードである7次モードと比較してみると、

ds159

明らかに変形量が違いますね。。。

ただし、固有値解析では変形量の絶対値に意味はないので

比較には注意が必要ですが、
(正規化の方法など)

固有値が0に近いこととあわせて考えれば、

6次までは剛体モードと考えてよいと思います。


一般のFEM解析ソフトでは、倍精度のソルバーとか使うともう少しきれいに出るかもしれません。


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  1. 2011/05/09(月) 21:19:36|
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剛体モードをはどのように使用するか (静解析屋さんのための動解析FEM講座104)


剛体モードはどのようなときに現れるのでしょうか。


1.まず、考えれるのが拘束ない構造物の振動解析をしたときです。

拘束のない構造物とは何でしょうか。。。

つまり宙に浮いているものです。

人工衛星などの航空宇宙分野の振動解析で、宙に浮いた状態のシミュレーションで剛体モードが出てきます。

といっても、実際解析したときこの剛体モードは邪魔になる場合もあるので、固有値抽出の下限値を設定して計算させないこともあるようです。


2.次に考えられるのが、モデルチェックのためです。

静解析で拘束が適切ではない場合、解析結果が得られないことがあるのはご存知だと思います。

適切でない場合、剛体モードが出てくる可能性が高いので、固有値解析をして確認することが出来ます。

また、逆に拘束がない構造物の場合、6つ剛体モードが出てこないと、モデルに誤りがある可能性が高いです。


3D-CADからモデリングする場合、拘束条件設定はある程度の経験者であればそう間違うことはないと思います。

しかし、振動解析の場合、モデルの簡略化や特殊な接合部のモデル化のため

バネ要素や質量要素、多点拘束(MPC)や剛体要素、スーパーエレメントさらには直接剛体マトリックスに入力する、

など高度なモデル化が使われることもあるため、注意しないと誤った自由度同士をつなげてしまうこともあるからです。

そういうことのチェックに使われるのも剛体モードの利用法の一つです。
(もちろん剛体モードが正しく出たから、出なかったから、と言ってそれだけではモデルが正しいとはいえませんが)


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  1. 2011/05/10(火) 22:18:29|
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固有値解析は何を計算しているのか?-1(静解析屋さんのための動解析FEM講座105)


今日からはしばらく数式の話。。。


応力や温度の問題は対策法が割りと明確で

基本的には

例えば応力が大きければ、部材を太くするなどして補強すればよいし、

温度が高ければ、ファンつけるとか熱が逃げる面積増やすとかして冷却するような構造にすればよいです。

(実際はなかなかうまくいかないのですが)


しかし、共振の問題は

共振するからと言って補強材を入れても、共振振動数が移動するだけで、共振自体はなくならないのです。

また、ダンパーをいれて振動を和らげるのも手ですが、これも適切な場所にいれる必要があり、また周波数によって効果出たり出なかったりします。

そのため、対象となる振動モードと周波数をあらかじめシミュレーションで予測することが重要ですが、

正しくシミュレーションできたとしても、その結果から振動対策を行うには、振動の計算理論を知っていないと厳しいものがあります。。。

(シミュレーション専門で、振動対策は別の人がやっているという方はいいのかもしれませんが。。。)


ところが、勉強しようと思っても振動について書いてある本はなかなか難解です。。。

ということで、今回からはしばらく固有値解析は何を計算しているのかをあえて

非常にざっくりと

書いていきたいと思います。


さて、FEMの構造静解析では何を計算していたかというと

[K]{d}={f}

剛性マトリクス[K]と荷重ベクトル{f}から

連立方程式を解いて、変位ベクトル{d}を計算していました。


説明のためマトリクス形をやめて、1自由度にしてしまうと

Kd=f

d=f/K

で変位を求めていたということです。

さて、固有値解析では何を求めているのでしょうか。。。

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  1. 2011/05/11(水) 22:35:30|
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固有値解析は何を計算しているのか?-2(静解析屋さんのための動解析FEM講座106)

さて、線形静解析では

[K]{d}={f}

を解いていると書きましたが、動解析ではこれに慣性力を加えた

[M]{a}+[K]{d}={f}

を解いているのです。

ここで[M]は質量マトリックス、{a}は加速度ベクトルです。

ベクトルとかマトリックスは嫌いなので、1自由度の問題にしてしまいましょう。。。

Ma+Kd=f

慣性力とは何か。。。この話以前にもしたような。。。。

1月くらいにしていますね。。。

http://freecaetester.blog62.fc2.com/blog-date-20110119.html
以降の記事を参照してください。。。

そのときは変位、速度、加速度の関係を述べるにとどまりました。


固有値解析では、自由振動、つまり荷重がかかっていない状態での振動を計算しているので、

[M]{a}+[K]{d}={0}

1自由度の場合は

Ma+Kd=0

を計算することになります。

今回はこれを実際に数学的に解きたいと思います。


まず、以前の記事にもありましたが、

Ma+Kd=0

だからと言って

d=-Ma/K

にはなりません。。。

加速度aと変位dがまったく無関係なものではなく、

「変位を時間で2回微分したものが、加速度」

という関係があるからです。。。

この解き方については、振動を扱う本すべてに答えが書いてあると思うのですが、

それらの本読んでもしっくりこない、と言う方々にしっくりきてもらうように努力してみます。。。(^^;)


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  1. 2011/05/12(木) 21:13:10|
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固有値解析は何を計算しているのか?-3(静解析屋さんのための動解析FEM講座107)


さて、前回示した

Ma+Kd=0



a(加速度)はd(変位)の2回微分なので、いわゆる

微分方程式

を解かなくてはなりません。

数学的に本格的(?)に書くと

ds161

とか、

ds162

と書きます。(どちらも同じ意味です)

また、変位や加速度は時間によって変わることを強調して、
ds163

ともかくことが出来ます。(これも上の2つと同じ意味です)

これを計算するにはどうすればよいか。。。


振動関係の本には、必ずこの解き方が載っています。

たいてい、解を

ds164

と、おく、

と書いてあり、これを元の式に代入して話を進める本が多いです。


が、たいていの人は、

「なぜ勝手に答えを仮定して話を進めるのか?」

とか

「この仮定はどっからでてきたのか?」

と思う人が、大勢だと思います。

(私もそうでした。。。。)

これこのように答えを仮定しないと話が進まないのですが、なぜこのように仮定するのかを少し考えてみたいと思います。


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  1. 2011/05/15(日) 11:39:37|
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固有値解析は何を計算しているのか?-4(静解析屋さんのための動解析FEM講座108)

ds161

の解をなぜ

ds164

とおくのか。。。

振動関係の本でも多くはそのことに触れていないのですが、振動の名著である

「モード解析入門」 長松昭男著 コロナ社

には3ページにわたって詳しく書いてあります!


さらに以下のようにも書いてあります。

「しかし、これ(この解の仮定の事)を何の異和感もなく受け入れることの出来る人は、振動を完璧に習得した人か、あるいは実現象でなく数学の世界で理解している人である。前者は尊敬に価するが、後者はあまり好ましくない。振動を勉強し始めた普通の人は、ここで何らかの疑問や迷いを感じる方が自然である」

長松先生がそうおっしゃるのであれば、何だー分からなくて当然か!

と安心しましたが、安心しててもしょうがないので、長松先生の説明をさらに砕いた説明を試みたいと思います。。。


一番上の式を以下のように変形します。

ds165

ここで、k(剛性)は基本的に正の値、m(質量)も正の値なので,k/mも正の値になります。

それを

ds166

とおくと、

ds167

になります。

この式を見ると

関数を2回微分したもの=-(定数)×元の関数

になっています

(定数)=1だった場合を考えると、

元の関数を2回微分したものが、元の関数にマイナスをかけたものと同じにならなくてはいけない。


そういう関数のみが、この方程式の解の候補になります。。。

例えば元の関数を

ds175


とすると、それにマイナスをかけたものは

ds174

ですが、2回微分すると、

ds172


となり、もとの関数にマイナスかけたものにはなりそうもありません。

どうやら通常の一次関数とか二次関数とかn次関数では無理なようです。

そこで特殊な関数で、2回微分して元の形にマイナスを書けたものになる物を探してみますと。。。

そう、三角関数が当てはまりそうだと言うことが分かります。


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  1. 2011/05/16(月) 21:21:05|
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固有値解析は何を計算しているのか?-5(静解析屋さんのための動解析FEM講座109)


早速三角関数を微分してみましょう。

ds176

2回微分するときちんともとの関数の-1倍になっています!

なぜこうなるかは、「三角関数 微分」でぐぐってください。。。


ところで、自由振動の方程式(微分方程式ですが)の解の仮定は、

ds164

と書きました。

なんでCOSとSINの足し算なの、と言うのも理由があるのですが、

ここはひとまず上の式でA=0として、COSの項を消して、

ds177

が、解と仮定して話を進めます。


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  1. 2011/05/17(火) 23:39:09|
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固有値解析は何を計算しているのか?-6(静解析屋さんのための動解析FEM講座110)


さて、話は
 
ds161

この方程式を解を

ds177

仮定して解く、と言う話になっていますが、

実際解く前に、これは一体何を計算してるんだ?、と言う話をしましょう。


前にマトリックスの形

[M]{a}+[K]{x}=0

は面倒なので、1自由度系にして、単なる変数の方程式にしていると書きました。

ところで1自由度系とは何でしょうか。。。

1自由度系は、

「動ける点が1つで、なおかつ動ける方向も一つ」

ということです。

例えば以下のようなバネの運動を考えて見ましょう。

ds178

-バネの重さは先端の重り以外は考えない

として

またバネは

-上下のみ動くものとし、

-紙面左右や手前方向には動かない

-さらに重りは回転しない


このとき、運動する点は

バネの先端
(バネ本体は変位量の計算点と考えない)

運動する方向は

上下方向の一方向

なので、1自由度系となります。


重りが2つあったり、バネが左右に動いたり、重りが回転したりすると1自由度系ではなくなるのでダメです。。。


実際、教科書の例題ではバネの例が多いのですが、以下のような片持ち梁の曲げだって(無理やり)1自由度系と考えることも出来ます。

ds179

これも1自由度系として扱うためには、

重りの重さに比べてはり本体の重さが無視できる

はりや重りは回転しない

曲げ方向は1方向

はりは引っ張り圧縮変形は起きない

ことの仮定がつきます。


最初の方程式は、上で示した例のようなものがどのような運動をするか、と言うことを計算する式です。

つぎに、それでは結果(解)は現実の動きとしてにどのようにあらわされるのか、を考えて見ます。。。


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  1. 2011/05/18(水) 23:35:16|
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固有値解析は何を計算しているのか?-7(静解析屋さんのための動解析FEM講座111)


今考えているのは、動解析です。

動解析なので、基本的には、

ある時間での解析構造物の状態

を求めることになります。

つまり、1秒後にはどんな変形をしているか、2秒後にはどんな変形をしているか....

を求めます。

ds181
クリックすると大きくなります。

これは少し前に行った、

過渡応答解析(時刻歴解析)

と同じです。


今回はバネの振動なので、伸びたり縮んだりしそうです。

例えば、あるバネ定数と重りの組あわせでは、以下のようになることが考えられます。

ds180
クリックすると大きくなります。

これはsinのグラフに似ているので、そう結果を仮定してしまえ(!?)と言う話です。。。

ds182
クリックすると大きくなります


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  1. 2011/05/22(日) 19:52:27|
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固有値解析は何を計算しているのか?-8(静解析屋さんのための動解析FEM講座112)


さて、今回解を

ds177

とおいています。


x=sint

であれば、未知の文字はなく、xはtが決まれば値が決まります。

が、

ds177

では、

Bとω

が入っていて少し複雑な式になっています。。。

この

Bとω

の意味を見てみましょう。。。


まず簡単な方のBから

ひとまずω=1とおいて

x=Bsint

とすると、このBはsintの値をB倍しただけになります。

つまり、

ds183

な感じです。。。

B=2であれば

ds185


B=0.5であれば

ds186

Bは

実現象としてはどれくらいの大きさで振れるか、

グラフ上では縦軸方向にどれくらい引き伸ばされるか、

を表す量です。


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  1. 2011/05/23(月) 23:30:39|
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固有値解析は何を計算しているのか?-9(静解析屋さんのための動解析FEM講座113)


次に

x=Bsinωt



ω

の意味を見てみます。

B=1


とすると

x=sinωt

となります。。。


まず

ω=1

とすると

x=sint

になりますので、普通のsinのグラフになります。

ds187


次に

ω=0.5

とすると

x=sin(0.5t)

これをエクセルでグラフを書くと

ds188

波が横に伸びましたねー。


続いて

ω=2

とすると、

ds189

今度は波が縮みました。。。

つまり

ωが小さくなれば、波は伸び、つまり周期が長くなります。。。

逆に大きくなれば、波は縮み、周期が短くなります。。。

周期Tをωの式で表すと、

T=2π/ω

で表すことが出来ます。

ds190

このωを

角振動数

と呼ぶことは、以前説明しました。。。


ところで、ωを使わなくても、分かりやすい”量”である周期Tを使って

x=sin(2πt/T)

と書いても良いのですが、式で書いたときに文字が多くて分かりにくくなってしまいます。

そこでωであらわした方が文字数が少なくすみ、数学的に取り扱うときに便利なわけです。


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  1. 2011/05/24(火) 21:17:47|
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固有値解析は何を計算しているのか?-10(静解析屋さんのための動解析FEM講座113)


前々回、前回でBとωの意味の話をしました。

まとめると、

ds162

の解を

ds177

と置くのは、まず、時間と変位のグラフの形を正弦波のグラフと仮定して、

ds182

Bの値で高さを、

ds183

ωの値で横幅を

ds190

決める。

そうすれば時間と変位のグラフが決定できるでしょう!ということです。


ところで、x=bsinωtだとt=0のとき、x=0で、最初の状態でバネに変位がかかっていないので、バネは変形しないのでは、

と思う方がいるかもしれません。

しかし、マイナスの時間を考えて、マイナスの時間のときにすでに変形していて

t=0の時にちょうど変位x=0になったとすると、

このときバネの先のおもりは速度をもっているので、t=0でx=0でもその後ばねは変形します。。。

ds191


これは時間的な境界条件(初期条件)でまた後で追加の説明します。

次回は実際計算してみます。



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  1. 2011/05/25(水) 19:39:13|
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固有値解析は何を計算しているのか?-11(静解析屋さんのための動解析FEM講座114)


それでは、

ds162

この方程式を解いていきましょう。

ds177

と解を仮定して、これをtについて微分すると

ds192

もう一回微分します。

ds193

微分するとなぜωが前に出てくるかは、数学の本を参照してください。。。

これと、

ds177

をもとのこの式に代入すると、

ds162

以下のようになります。

ds194

Bは振幅でもし、B=0だと変位しなくなってしまうので、B≠0。

よって、両辺Bで割ると、

ds195

求めるはずのBが消えてしまいました。。。。

この意味また後で考えるとして、ωの方を求めてみましょう。

sinωt=0の場合、これも振動がしないことになってしまうので、意味がない。

よってsinωt≠0で、両辺をsinωtで割ると

ds196

ωについて解くと、

ds197

ωについて解けました。。。


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  1. 2011/05/26(木) 20:15:14|
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固有値解析は何を計算しているのか?-12(静解析屋さんのための動解析FEM講座115)

前回、自由振動の方程式を解いて、

ds197

と言う計算結果を得ました。

方程式を解くのは数学なのですが、今ここでは振動の動きを知りたいのが目的なので、

この式がどのように振動の動きに絡んでくるかを見てみましょう。

まず

ω

ですが、これは角振動数といいました。


振動の周期Tとは

T=2π/ω

の関係があるので、最初の式をこの式に代入して

ds198

この式が周期を表す式になります。

つまり

ds199

です。

よって、mの値とkの値が分かれば、この式にそれを代入して、振動の周期が分かると言うことです

ところで、

m





はなんだったでしょうか。

ばねモデルで言うと、mはバネの先につけた重りの質量です。
(このモデルでは、バネの重さは重りの質量よりも凄く小さいと言うことにして、無視しています)

重さではなく質量と書きましたが、重さと質量の違いはあとで述べます。。。


単位については少し説明が要りますが、とりあえず単位をつけて図を描きますと、

ds200a.png


次にkはこのバネの剛性、つまり1m引張ったときのバネの力です。

ds202

これはバネの基本特性で、まともな市販のバネであれば値は書いてあります。。。

この2つの値さえ分かれば、以下の式でこのバネが自由振動するときの周期が分かる、と言うことを示しているのです。

ds203

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  1. 2011/05/29(日) 10:54:29|
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Bはどこへ行った??(静解析屋さんのための動解析FEM講座116)


さて、ωが求まって、自由振動のときの周期(固有周期)Tも求まった。

固有振動数は

f=ω/2π

つまり、ωの値を6.28で割れば出てきます。


今回の説明は自由度1の場合でした。

自由度数が増えても、つまり節点数が増えても、1自由度の時と原理的には同じように

質量



剛性

から

ω



求めるのが固有値解析なのです。


ところで、私いくつか計算するときに説明しなかったことがあります。。。

まず、振動したときの変位の式を

x=Bsinωt

とおきました。

振動変位を求めるためには

ω



B

を求めればよいと書きました。

しかし、計算している間にBはどこかに消えてしまいました。。。

一体どういうことでしょう。。。


実は固有値解析では、Bつまり振幅は求めません。

あくまでも固有振動数を求めることに絞った計算を行うのです。

もし、FEMで振幅まで求めたいと言うのであれば、過渡(時刻歴)応答解析を行う必要があります。

また、固有値解析の変位や応力の結果は、絶対値には意味がないといいましたが、これも振幅を求めていないことに起因します。。。

過渡応答解析は、大変時間のかかるシミュレーションです。
(このごろはコンピューターの進歩でだいぶ速くなりましたが)

振幅を求めることをやめて、共振を避けるため固有振動数だけ求めようとしたのが、固有値解析なのです。

固有値解析で、5秒後の変位や応力を求めたい、ということはできません。。。


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  1. 2011/05/30(月) 21:50:02|
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Acosωtはどこへ行った??(静解析屋さんのための動解析FEM講座117)


ところで、一般的な振動の教科書は

ds162

の解を

ds164

と置くと書いてあります。

ことにあろうが私は勝手に

A=0

として

ds177

と置いてしまったのですが、きれいに答えまでたどり着きました(^^;)


なぜ

ds164

のでしょうか。また、

ds177

とおいてなぜうまくいったのでしょうか。。。


これを考える前にグラフを書いてみましょう。

ω=1,A=2,B=3

として

x=2cost

x=3sint

x=2cost+3sint

のグラフをExcelで描いてみます。

ds204

3つのグラフを比べてみると

振幅は異なっていて、

横方向にグラフがずれていますが


周期は同じになっているのが分かります。

また、

x=2cost+3sint

のグラフの形は、他の2つのグラフと同じです!

ということは

x=2cost+3sint



x=□sin(t+△)

と言う式で表されるのです。

ここで□は振幅、△は横方向のずれを表します。


さて、ここで思い出して欲しいのは、たぶん高校生のときに習った三角関数の合成の公式です。。。

どのようなものだったかというと

ds205

ここでαは

ds206
ds207
が成り立つαです。


これを
ds164
にあてはめると、

ds208

ds209
ds210
ds211

となります。

つまりαと余計な?物は付きますが、sinの式で表すことが出来るので、本質的には

ds177

と置くのと変わらないのです。


あとは、

ds212
ds213

となるので、

ds177

と置いたときと同様に計算できてしまいます。

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  1. 2011/05/31(火) 23:44:20|
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