有限要素法のフリーのソフトウエア を試す

CAEで使われるフリーの有限要素法(FEM)ソフトウエアであるCalculixやOpenfoamを使ってみようとチャレンジしてたその足跡を残す。。。ついでに他のフリーソフトや商用ソフトの無償版にも手を出してみる。

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静解析屋さんのための動解析講座 その47 積分は面積


前回までの計算をグラフでかいて見ます。

時間と速度の関係をグラフに書くと、

ds082

2分割したときのグラフを合わせると、

ds083

この階段状のグラフで、移動距離を速度x時間で求めたので、

移動距離は下の図の赤と青の長方形の面積になります。

ds084

10分割の場合は、
ds085

速度は以下の半透明塗りつぶし部分の面積になります

ds086

このまま100分割、1000分割にしていくと、三角形の面積に一致することが分かりますね。

実際三角形の面積は

10x50/2=250

で移動距離です。

積分は面積というのが良く分かります。。。


ここでは、三角形の面積を素直に求めれば移動距離が出るのですが、

わざわざ長方形の面積にしたのはわけがあります。

コンピューターがどうやって積分計算しているのかを説明したかったからです。。。


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  1. 2011/02/01(火) 22:18:07|
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静解析屋さんのための動解析講座 その48 数値積分はコンピュータが得意!

さて、積分を求める区間を2分割、10分割、100分割することによって、積分の精度があがっていくことが分かります。

2分割
ds084


10分割
ds086


100分割
ds087


と、より三角形に近づいて精度があがっていくのが分かります。

これを手計算するのは大変なのですが、コンピュータはこういう計算は得意で、
プログラムを組まなくてもExcelのセル計算で一瞬で計算できます。。。

また、この計算法、いわゆる関数の積分計算をしなくても、関数の値さえ分かってしまえば、積分値を求められるので、それもコンピュータで計算させるのに向いています。

例えばこんなグラフでも

ds088


こんなふうに分割すれば、大体の積分値が求まります。
(もちろん分割数を細かくすれば精度は上がります)
ds090

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  1. 2011/02/06(日) 23:28:28|
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静解析屋さんのための動解析講座 その49 荷重がないのに自由振動するわけ?

さて、話を動解析に戻します。

以下のような外からの荷重がなくなった後もはりは振動を続けます。

外からの荷重はなくなりましたが、なくならないものがあります。

それは外からの荷重によって与えられたエネルギーです。

これは荷重がなくなった後も、なくなりません。。。
(実現象は減衰してなくなるのですが、今回のシミュレーションでは考慮してませんので)

このエネルギーを持ち続けなければならないので、はりは振動せざるを得ないということになります。

さて、どうせ振動しなければならないのですが、でもできるだけ安定した状態(真ん中で動かない状態)に近い状態にしたいです。

なぜ安定した状態がよいかというと、人間と同じで、物もその方が楽だからです(^^;)
(物理学的にもそうだと私は理解しています。)


ということを前提に、荷重がかかっていない状態の振動を見てみましょう。

まず、変位が正の方向で最大だとしておきます。

真ん中の状態が安定するので、真ん中に向かうように加速度を全力かけます。

真ん中に近づいてくると、加速度を弱め、加速度は真ん中で0になります。

ds091
クリックすると大きくなります

これで止まればよいのですが、この真ん中の状態で、残念ながら速度が0でないのです。。。

速度は最大になっています。

よって真ん中の状態を通過し、反対方向へ変形します。

ds092
クリックすると大きくなります

そうなると、それを阻止すべく加速度が発生して、加速度が最大になったところで変形はとまります。



今度は逆方向に変形しだしまた0の方向へ戻り始めます。

それから先はその繰り返しになります。。。。

本当は0でとまりたいのですが、エネルギーを持っているばかりに、永久にこの行き返りを続けなければなりません。


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  1. 2011/02/07(月) 21:49:57|
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振動と三角関数 (静解析屋さんのための動解析講座50)




前回の加速度、変位、速度のグラフを何往復か分書いてみます。

変位
ds093


加速度
ds094



速度
ds095



滑らかな波(なみ)線になっています。

これを数式で表すと、三角関数となります。。。。

つまり
変位 y=cos(x)と同じ形(相似形)

加速度 y=-cos(x)と同じ形

速度 y=sin(x)と同じ形

sin、cosとなると身構えてしまうかもしれませんが、

ここでは滑らかなみ線になると思っていただければ結構ですよ。


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  1. 2011/02/08(火) 23:10:37|
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振動と正弦波 (静解析屋さんのための動解析FEM講座51)


y=sin(x)のグラフは正弦波と呼ばれます。正弦とはsinのことです。1周期分(0から約6.28)をグラフに書くと、

ds096

最大値1から最小値-1まで滑らかに繋がっています。

xの範囲を広くとって見てみると、約6.28ごとにこの波の繰り返しになっています。
数式で書くと
sin(x+約6.28)=sin(x)

ds097



なお、この約6.28と言うのは(円周率)×2の値で、記号では2πと書きます。

y=cos(x)

のグラフは

y=sin(x)

のグラフを左の方向に約1.57ずらしたものです。

ds098


ずれている以外は正弦波と同じですので、この手の曲線は正弦波と呼ばれることが多いです。(余弦波(=cosのこと)とはあまりいいません)

まずは、このような「きれいな」形の波は正弦波と呼ばれることを抑えておけばよいでしょう。

この正弦波はきれいな形で、理想的な振動の時間-変位の形も示しています。

実際のものの振動でも正弦波が現れることもあります。

また理論的、数学的にも大変扱いやすく、振動解析を説明する際はまず時間-変位の関係が正弦波で振動していることを仮定して解析し、それをもとに正弦波でない場合に拡張していくという手順をとっています。

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  1. 2011/02/09(水) 23:04:09|
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過渡(時刻暦応答)解析の結果をもう一度見てみる (静解析屋さんのための動解析FEM講座52)

さて、前に解いた片もち梁の振動の結果を見てみます。

de063
クリックすると大きくなります

0.002秒以降、荷重がなくなり自由振動し始めると、変位と時間の関係は大体正弦波の形になっているようです。

これは以前自由振動を考察したとおりです。

ただし、

変位=sin(時間)
変位をu、時間をtとすると
u=sin(t)

という式で振動しているわけでは有りません

u=sin(t)

では、変位の最大値が1mm、最小値が-1mmで振動の一周期(0から+方向に変位して0に戻って―方向に変位してまた0に戻るまで)は約6.28秒(2π)でなくてはならないです。

ただし、振動している波形は正弦波で、

u=sin(t)に似た波形

で振動しているということです。


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  1. 2011/02/13(日) 22:45:18|
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振幅、周期と角振動数 (静解析屋さんのための動解析FEM講座53)

それでは

変位=sin(時間) (u=sin(t))

と何が違うのでしょうか。

一つは最大値、最小値が異なります。

この最大値、(もしくは最小値の絶対値)のことを、

振幅

と言います。

もう一つ異なるのは、一周期分の時間です。

これは、専門用語でもそのまま

周期

と呼んでいます。

また、ついでに振動の

周波数

と呼ばれるものがありますが、

これは周期の逆数、つまり

[周波数]=1÷[周期]

数式で書くと、周波数f、周期Tとして、

f=1/T

となります。

ついでですが、角振動数というパラメータがありまして、

[角振動数]=2×[円周率]×[周波数]= 2×[円周率]÷[周期]

式で書くと、角振動数をωとして、

ω=2πf=2π/T

角振動数も物理的に重要な意味を持っていますが、その説明は後回しにして、ここでは計算方法を記すまでにします。。。

ds100

クリックすると大きくなります。


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  1. 2011/02/14(月) 19:53:57|
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振幅、周期を測ってみる (静解析屋さんのための動解析FEM講座54)

さて、前に解いた片もち梁の問題の自由振動の振幅と周期を見てみます

de063

0.002秒以降を拡大してみてみると、

ds101


がたがたしているのは、時間分割が不足しているからです(> <)

とりあえず、ざっくりと見てみると言うことで、ご容赦を。。。

最小値とその時間を探ってみると、

ds102


周期は0.005秒から0.006秒の間くらい、振幅は0.85くらいかと言う感じですが、ちょっとラフすぎるので、もう少し細かい計算をして見ます。


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  1. 2011/02/15(火) 21:33:04|
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解析を長く、出力間隔を短くする (静解析屋さんのための動解析FEM講座55)


ということで、解析時間を長く、出力間隔を短くします。

inpファイルの赤字のところを変更します。

*INCLUDE,INPUT=all.msh
*INCLUDE,INPUT=fix.nam
*BOUNDARY
Nfix,1,3
*MATERIAL,NAME=EL
*ELASTIC
210000.0 , .3
*DENSITY
7.8E-9
*SOLID SECTION,MATERIAL=EL,ELSET=EALL
*AMPLITUDE,DEFINITION=TABULAR, NAME=A1
0.0,0.0,0.001,1,0.002,0,1.0,0
*STEP,INC=1000
*DYNAMIC,DIRECT
0.00005,0.05
*CLOAD,AMPLITUDE=A1
478,2,0.25
477,2,0.5
1052,2,0.25
*NSET,NSET=NOUT
477

*NODE PRINT,NSET=NOUT
U
*END STEP



*STEP,INC=1000は、デフォルトでは最大ステップ数が100なので、1000に増やしておきます。

*DYNAMIC,DIRECT
0.00005,0.05
で時間間隔を0.00005秒に短くし、最終時間を0.05秒まで伸ばします。

出力が1000回されますので、結果ファイルが大きくなり、重くなる可能性があります。
そこで、
*NSET,NSET=NOUT
477
*NODE PRINT,NSET=NOUT
U
で477の節点変位だけをテキストファイル(.dat)に書き込む設定をします。

*NODE PRINT,NSET=NOUT
U
は削除して、cgx用ファイルには今回は出力しないこととします。

以上ファイルを変更し、ccxで実行します。

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  1. 2011/02/16(水) 22:53:07|
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解析を長く、出力間隔を短くした結果 (静解析屋さんのための動解析FEM講座56)

それでは計算結果です。datファイルの結果を以前紹介した方法で強引にまとめてグラフを描きます。

ds103


衝撃時の最大変位は前回の解析と大体同じ結果ですが、
衝撃の後の振動がなくなってしまいました。。。

でもよく拡大してみてみると、

ds104


拡大すると残っているようです。

計算の時間分割幅を変更した結果、解析結果が変わってしまったようです。。。

つまり、前回の解析は時間分割幅が粗かった可能性があります。
次回もう少し細かいところを見てみます。


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  1. 2011/02/17(木) 23:27:38|
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周期を確認してみる (静解析屋さんのための動解析FEM講座57)


それでは、この自由振動の間の周期を測定して見ます。

まず衝撃直後は

ds105

全手動(!)で一番小さい値(極小値)になったときの時間をみてみると

ds107

次に、計算の最後の方から10サイクル同じように見てみます

ds106

ds108

衝撃直後も計算の最後の方(0.05秒近く)もほぼ同じ周期5.0E-4(sec)となっています。

自由振動の周期がシミュレーション上確認できました。


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  1. 2011/02/20(日) 23:35:49|
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荷重条件を変えてみます (静解析屋さんのための動解析FEM講座58)


さて、前回までは、はりの自由端部にかかる時間(横軸)と荷重(縦軸)の関係が、

ds109

の場合を計算してきました。

この関係が、例えば

ds110

とか

ds111

のようになった場合、周期は変わるでしょうか。

1.荷重が変わると、当然影響があとにひくはずなので、周期が変わる。

と言う考え方と、

2.荷重が変わっても、自由振動は荷重がかかっていないときの振動なので、周期は変わらない

と言う考え方もあるかと思います。

それでは早速シュミレーションで試してみたいと思います。。。

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  1. 2011/02/21(月) 19:12:58|
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荷重変更した入力データです (静解析屋さんのための動解析FEM講座60)


荷重の変更ですが、時間と荷重を指定しているコマンド

*AMPLITUDE,DEFINITION=TABULAR, NAME=A1
0.0,0.0,0.001,1,0.002,0,1.0,0

の赤色の部分に変更された時間と荷重のグラフを入れれば十分です。

前回の2つ目のグラフの場合は

*INCLUDE,INPUT=all.msh
*INCLUDE,INPUT=fix.nam
*BOUNDARY
Nfix,1,3
*MATERIAL,NAME=EL
*ELASTIC
210000.0 , .3
*DENSITY
7.8E-9
*AMPLITUDE,DEFINITION=TABULAR, NAME=A1
0.0,0.0,0.0005,1.5,0.001,0,1.0,0
*SOLID SECTION,MATERIAL=EL,ELSET=EALL
*STEP,INC=1000
*DYNAMIC,DIRECT
0.00005,0.05
*CLOAD,AMPLITUDE=A1
478,2,0.25
477,2,0.5
1052,2,0.25
*NSET,NSET=NOUT
477
*NODE PRINT,NSET=NOUT
U
*END STEP

3つ目のグラフの場合は

*INCLUDE,INPUT=all.msh
*INCLUDE,INPUT=fix.nam
*BOUNDARY
Nfix,1,3
*MATERIAL,NAME=EL
*ELASTIC
210000.0 , .3
*DENSITY
7.8E-9
*AMPLITUDE,DEFINITION=TABULAR, NAME=A1
0.0,0.0,0.001,1.5,0.002,1.5,0.003,0.0,1.0,0
*SOLID SECTION,MATERIAL=EL,ELSET=EALL
*STEP,INC=1000
*DYNAMIC,DIRECT
0.00005,0.05
*CLOAD,AMPLITUDE=A1
478,2,0.25
477,2,0.5
1052,2,0.25
*NSET,NSET=NOUT
477
*NODE PRINT,NSET=NOUT
U
*END STEP

になります。

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  1. 2011/02/22(火) 19:22:42|
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荷重変更した入力データです (静解析屋さんのための動解析FEM講座61)


さて結果を見てみましょう。

まず2つ目のグラフの場合を見てみましょう。

荷重は以下のような形でした。

ds110

前回の入力データで解析してみると、梁の自由端の変位の結果は以下の通りになります。

ds112


負荷直後を拡大してみると、

ds113


やはり、正弦波で振動してますね。

周期を測ってみましょう。

振動が安定しだす0.0042秒後からの振動の周期を手動で測ってみると、

ds114



周期は前回の荷重条件とほぼ同じ(5.0E-4弱くらい)になっています!

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  1. 2011/02/24(木) 21:58:16|
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荷重変更した入力データですその2 (静解析屋さんのための動解析FEM講座62)

それでは3つ目の荷重データを使った解析結果もみてみます。

荷重データは
 ds111

解析結果は

ds112

拡大してみてみると、

ds113

周期を測ってみると、
ds114


これまた周期は前回の荷重条件とほぼ同じ(5.0E-4弱くらい)になっています!

つまり、周期は時間-荷重の関係に関係なく同じになることが予想されます。

実際の現象もそうであり、これを固有振動数と呼んでいます。

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  1. 2011/02/27(日) 23:43:11|
  2. 解析講座
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自由振動と固有振動 (静解析屋さんのための動解析FEM講座63)

前回まで、荷重を取り除いた後の周期をみてきました。

3パターン行いましたが、すべて同じ周期でした。

他の時間-荷重の関係で負荷しても、相当ゆっくり荷重かけた場合(静的に書けた場合)を除いて、

すべて同じ周期になるはずです。

つまり、

自由振動(荷重がかかっていない状態での振動)では、周期は時間と荷重の関係によらない

ということになります。

この周期を

固有周期

振動の状態を

固有振動

といいます。

まやそのときの周波数(=1/(固有周期))を

固有周波数

といいます。


シュミレーションでは現れましたが、実際はどうかというと、

やはり自由振動のときは、

どんなものも固有振動で振動します。


固有振動を利用したもので一番有名なのは楽器です。

音階(ドレミファソラシド)は基本的に音の周波数によって決まります。

”ラ”の音(A4)は440Hzということらしいです。

つまり、周期が1/440=0.00227秒の正弦波を出せば、”ラ”の音が出せることになります。
(ちなみに正弦波と凄く機械的な音です)

”ラ”の音を単音でギターで弾くとき、押さえるところを変えなければ、

強く弾いても音が大きくなるだけで、”ラ”の音には変わりません。

これはどんな弾き方をしても弦が440Hzの固有振動をするからです。
(実際楽器の場合は単純な正弦波のみが出るわけではなくもう少し複雑です。また、はりの固有振動現象はギターよりも音叉(おんさ)の方が近いです)


この固有振動は非常に重要です。単に自由振動するときに出てくると言うわけではありません。

固有振動については、固有値解析のところでまた詳しくやりたいと思います。

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  1. 2011/02/28(月) 23:15:49|
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